Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是x轴上方椭圆E上的一点，且PF₁⊥F₁F₂，，．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程和P点的坐标；
（Ⅱ）判断以PF₂为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系；
（Ⅲ）若点G是椭圆C：上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，探究以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆的位置关系．

Answer

（Ⅰ）由P在椭圆E上，知a=2．由PF1⊥F1F2，知．由此能求出椭圆E的方程和P点的坐标．
（Ⅱ）线段PF2的中点，以为圆心PF2为直径的圆M的方程为．以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为：x2+y2=4，由此可知两圆相内切．
（Ⅲ）以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆相内切．设F'是椭圆C的另一个焦点，其长轴长为2m（m＞0），点G是椭圆C上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，有|GF|+|GF'|=2m，由此能够导出两圆内切．
【解析】
（Ⅰ）∵P在椭圆E上∴2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，…．（1分）
∵PF1⊥F1F2，∴，…．（2分）
2c=2，c=1，∴b2=3．
所以椭圆E的方程是：…．（4分）
∵F1（-1，0），F2（1，0），∵PF1⊥F1F2∴…．（5分）
（Ⅱ）线段PF2的中点
∴以为圆心PF2为直径的圆M的方程为
圆M的半径…．（8分）
以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为：x2+y2=4，圆心为O（0，0），半径为R=2
圆M与圆O的圆心距为所以两圆相内切  …（10分）
（Ⅲ）以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆相内切           …（11分）
设F'是椭圆C的另一个焦点，其长轴长为2m（m＞0），
∵点G是椭圆C上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，
则有|GF|+|GF'|=2m，则以GF为直径的圆的圆心是M，圆M的半径为，
以椭圆C的长轴为直径的圆O的半径R=m，
两圆圆心O、M分别是FF'和FG的中点，
∴两圆心间的距离，所以两圆内切．…．（14分）