Question

已知向量=（sin（ωx+ϕ），2），=（1，cos（ωx+ϕ）），函数f（x）=（+）•（-）的图象过点，且该函数相邻两条对称轴间的距离为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象按向量=平移后，得到函数y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）在区间[1，2]上的单调性．

Answer

（Ⅰ）通过函数f（x）=（+）•（-）利用向量的数量积，结合三角函数的二倍角公式化简函数的表达式，利用周期求出ω，图象通过点，求出ϕ，得到函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象按向量=平移后，得到函数y=g（x）的图象，得到函数的解析式，根据[1，2]求出函数的单调性．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=（+）•（-）=2-2=||2-||2=sin2（ωx+ϕ）+4-cos2（ωx+ϕ）-1=3-cos（2ωx+2ϕ）．
∴f（x）的最小正周期为，即．
又f（x）的图象过点M（），
∴，即．
而，∴，则．
∴f（x）=..…（6分）
（Ⅱ）依题意，．
∵x∈[1，2]，∴．
∴函数y=g（x）在[1，2]上单调递减．…（12分）