Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零常数l，使得对于任意x⊆M（M⊆D）都有f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数，l是一个高调值．
现给出下列命题：
①函数f（x）=为R上的高调函数；
②函数f（x）=sin2x为R上的高调函数
③若函数f（x）=x²+2x为（-∞，1]上的高调函数，则高调值l的取值范围是（-∞，-4]．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer

因为f（x+l）=，f（x）=，要使f（x+l）≥f（x），需要恒成立，只需l≤0；即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，所以①对；对于②，当l=π时f（x+l）≥f（x），恒成立；所以②对对于③，f（x+1）=（x+1）2+2（x+1），f（x）=x2+2x令（x+l）2+2（x+l）≥x2+2x即l2+2lx++2l≥0在（-∞，1]恒成立解得l≤-4故③对．
【解析】
对于①，f（x+l）=，f（x）=，要使f（x+l）≥f（x），需要恒成立，只需l≤0；即存在l使得f（x+l）≥f（x）在R恒成立，所以①对；
对于②，f（x+1））=sin2（x+1）≥sin2x=f（x），当l=π时恒成立；所以函数f（x）=sin2x为R上的高调函数
所以②对
对于③，f（x+1）=（x+1）2+2（x+1），f（x）=x2+2x
令（x+l）2+2（x+l）≥x2+2x
即l2+2lx++2l≥0在（-∞，1]恒成立
∴解得l≤-4故③对
故正确的命题个数是3个
故选D