Question

某地区的农产品A第x天（1≤x≤20，x∈N^*）的销售价格p=50-|x-6|（元∕百斤），一农户在第x天（1≤x≤20，x∈N^*）农产品A的销售量q=a+|x-8|（百斤）（a为常数），且该农户在第7天销售农产品A的销售收入为2009元．
（1）求该农户在第10天销售农产品A的销售收入是多少？
（2）这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？

Answer

（1）第7天的销售价格p=50-|x-6|=50-|7-6|，销售量q=a+|x-8|=a+|7-8|，得第7天的销售收入W7=pq=49×（a+1）=2009，可得a的值；从而求得第10天的销售收入W10=p10•q10；
（2）若设第x天的销售收入为Wx，则Wx=pq=（50-|x-6|）（a+|x-8|），去掉绝对值后是分段函数；
分别在1≤x≤6时，8≤x≤20时，求得函数Wx的最大值，并通过比较得出，第几天该农户的销售收入最大．
【解析】
（1）由已知第7天的销售价格p=50-|x-6|=50-|7-6|=49，销售量q=a+|x-8|=a+|7-8|=a+1．
∴第7天的销售收入W7=pq=49×（a+1）=2009（元）．解得，a=40；
所以，第10天的销售收入为W10=p10•q10=46×42=1932（元）．
（2）设第x天的销售收入为Wx，则；
当1≤x≤6时，（当且仅当x=2时取等号），∴当x=2时有最大值W2=2116；
当8≤x≤20时，（当且仅当x=12时取等号），∴当x=12时有最大值W12=1936；
由于W2＞W7＞W12，所以，第2天该农户的销售收入最大．