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已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=, 其中λ为实数,n为正整数...

已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=manfen5.com 满分网
其中λ为实数,n为正整数.
(1)对任意实数λ,证明:数列{an}不是等比数列;
(2)证明:当λ≠18时,数列 {bn} 是等比数列;
(3)设Sn为数列 {bn} 的前n项和,是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有Sn>-12?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.
(1)假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,由题意知( )2=2 ,矛盾.所以{an}不是等比数列. (2)由题设条件知b1=-(λ+18)≠0.bn≠0,∴,故当λ≠-18,时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,为公比的等比数列. (3)由题设条件得 ,,由此入手能够推出存在实数λ,使得对任意正整数n,都有Sn>-12;λ的取值范围为(-∞,-6). 【解析】 (1)证明:假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22=a1a3,(2分) 即()2=2,矛盾. 所以{an}不是等比数列.(4分) (2)【解析】 因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1(an-2n+14) =-(-1)n•(an-3n+21)=-bn(7分) 当λ≠-18时,b1=-(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N+).(8分) 故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列(9分) (3)当λ=-18时,bn=0,从而Sn=0.成立.(10分) 当λ≠-18时,由(Ⅱ)得,于是,(12分) 要使对任意正整数n,都有Sn>-12. 即. 令 当n为正奇数时, 当n为正偶数时,,∴.(16分) 于是可得. 综上所述,存在实数λ,使得对任意正整数n,都有Sn>-12;λ的取值范围为(-∞,-6).(18分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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