Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的正整数n，S_n和a_n都满足S_n=2-a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设c_n=n（3-b_n），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由题设知a1=1，an+Sn=2，an+1+Sn+1=2，两式相减：an+1-an+an+1=0，故有2an+1=an，，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由bn+1=bn+an（n=1，2，3，…），知，再由累加法能推导出（n=1，2，3，…）．
（Ⅲ）由，知，再由错位相减法能够推导出数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2，∴a1=1，∵Sn=2-an，即an+Sn=2，∴an+1+Sn+1=2，两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0，即an+1-an+an+1=0，
故有2an+1=an，∵an≠0，∴，
所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列，，n∈N+，
（Ⅱ）∵bn+1=bn+an（n=1，2，3，…），∴，
得b2-b1=1，，，…，（n=2，3，…）
将这n-1个等式相加，
==，
又∵b1=1，∴（n=1，2，3，…）
（Ⅲ）∵，
∴①
而②
①-②得：，
=8-=．