Question

一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两条直角边分别是1和2的两个全等的直角三角形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形．
（Ⅰ）请画出这个三棱锥的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）以D为顶点，DD₁，DA，DC为相邻的三条棱，作
平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知点E在AA₁上移动
（1）当E点为AA₁的中点时，证明BE⊥平面B₁C₁E．
（2）在CC₁上求一点P，使得平面BC₁E∥平面PAD₁，指出P点的位置
（Ⅲ）AE为何值时，二面角C-ED₁-D的大小为45°．

Answer

（Ⅰ）三视图复原几何体是一条侧棱垂直于底面的三棱锥，结合三视图的数据直接求出它的体积；
（Ⅱ）以D为顶点，DD1，DA，DC为相邻的三条棱，作平行六面体ABCD-A1B1C1D1，已知点E在AA1上移动
（1）当E点为AA1的中点时，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图，通过与，证明BE⊥平面B1C1E．
（2）在CC1上求一点P，A1E=PC时，有AD1∥BC1使得平面BC1E∥平面PAD1；
（Ⅲ）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图，设E（1，0，m），求出平面C-ED1-D的法向量=（2-m，2，1），=（0，1，0），利用二面角C-ED1-D的大小为45°求出m值．
【解析】
（Ⅰ）该三棱锥的直观图是有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，
如图所示的三棱锥D1-ACD其中底面ACD是直角边长为1的直角三角形，高DD1=2，故所求的体积是；
（Ⅱ）（1）当E点为AA1的中点时，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图，则B（1，1，0），B1（1，1，2），C1（0，1，2），E（1，0，1），，，
所以BE⊥B1E且BE⊥C1E，所以BE⊥平面B1C1E．
（2）可知当A1E=PC时，有AD1∥BC1，BE∥PD1所以平面BC1E∥平面PAD1
注：也可以求两个平面的法向量，说明两个法向量共线即可．
（Ⅲ）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图
设E（1，0，m）则D（0，0，0），C（0，1，0）D1（0，0，2）
=（1，-1，m），=（0，-1，2）
设向量=（x，y，z）满足
⊥，⊥
于是解得
取z=1得=（2-m，2，1）
又=（0，1，0）
即
解得
因为m＜2所以m=2-
即时，二面角C-ED1-D的大小为45°．