Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点．
（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率k_ON；
（2）设M椭圆C上任意一点，且，求λ+μ的最大值和最小值．

Answer

（1）设椭圆的焦距为2c，因为，所以有，故有a2=3b2．椭圆C的方程可化为：x2+3y2=3b2，右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为：再结合韦达定理能够求出斜率kON．
（2）与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等式成立．由此入手能够求出λ+μ的最大值和最小值．
【解析】
（1）设椭圆的焦距为2c，因为，所以有，故有a2=3b2．
从而椭圆C的方程可化为：x2+3y2=3b2①
易知右焦点F的坐标为（），
据题意有AB所在的直线方程为：②
由①，②有：③
设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x，y），由③及韦达定理有：．
所以，即为所求．
（2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数λ，μ，使得等式成立．设M（x，y），由1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），所以x=λx1+μx2，y=λy1+μy2．
又点在椭圆C上，所以有（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2整理为λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．④
由③有：．所以⑤
又A﹑B在椭圆上，故有（x12+3y12）=3b2，（x22+3y22）=3b2⑥
将⑤，⑥代入④可得：λ2+μ2=1.，故有
所以，