Question

已知函数f（x）=e^-x（x²-2ax+4a-3），其中a∈R．
（Ⅰ）若a=1，试求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）的极大值和极小值．
（Ⅱ）对于，求证在区间（-2，3）上有两个零点．

Answer

（Ⅰ）当a等于1时求函数的导数，根据导数求函数的极值，画出表格，求出单调区间
（Ⅱ）求出g（x）的导数，根据导数求函数的极值，设h（a）=g（2a-1），再根据零点存在定理证明函数的零点个数
【解析】
（Ⅰ）若a=1，则f（x）=e-x（x2-2x+1），
∴f'（x）=-e-x（x-1）（x-3），
由此可知
当x∈（-∞，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（1，3）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（3，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数

x （-∞，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞）
f'（x） - + -
f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘

故函数发f（x）的单调递增区间是（1，3），极大值，极小值是f（1）=0．
（Ⅱ）证明：∵，∴
而g'（x）=-e-x[x-（2a-1）]（x-3），由于（2a-1）∈（-2，3）

x （-2，2a-1） 2a-1 （2a-1，3） 3
g'（x） - +
g（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值

故g（x）在（-2，3）有极小值（也是最小值）
设h（a）=g（2a-1），则h'（a）=-2e1-2a（2a-3），由于
∴h'（a）＞0，h（a）在上是增函数，
由零点存在定理知，函数g（x）在（-2，2a-1）和（2a-1，3）内各有一个零点
故函数在区间（-2，3）上有两个零点．