Question

已知P为双曲线左支上一点，F₁，F₂为双曲线的左右焦点，且cos∠PF₁F₂=sin∠PF₂F₁=
则此双曲线离心率是（ ）
A．
B．5
C．2
D．3

Answer

先根据cos∠PF1F2=sin∠PF2F1推断△PF1F2为直角三角形，设|PF1|=x，||PF2|=y，根据勾股定理可知x2+y2=4c2，同时又根据正弦定理可得得出x与y的关系，联立方程求得x和y，进而根据双曲线定义y-x=2a，从而找到a和c的关系，求得离心率e．
【解析】
cos∠PF1F2=sin∠PF2F1
∴90°-∠PF1F2=∠PF2F1，即90°=∠PF1F2+∠PF2F1
设|PF1|=x，||PF2|=y
则有x2+y2=4c2，①
根据正弦定理=
即
∴2x=y②
①②联立方程求得x=，y=c
∴根据双曲线定义可知y-x=c=2a
∴e==
故选A