Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是CD、A₁D₁中点
（1）求证：AE⊥BF；
（2）求证：AB₁⊥BF；
（3）棱CC₁上是否存在点P，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P位置；若不存在，说明理由．

Answer

（1）取AD中点G，连接FG、BG，通过证明FG⊥AE，AE⊥BG，BG∩FG=G，证明AE⊥平面BFG，说明AE⊥BF．
（2）连A1B，证明AB1⊥A1B，AB1⊥BF，AE∩AB1=A，证明BF⊥平面AB1E．（8分）
（3）存在，取CC1中点P，连接EP、C1D说明AP⊂平面AB1E，由（2）知BF⊥平面AB1E，推出AP⊥BF．
方法2：（1）建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2a，证明+0=0，，得到AE⊥BF．
（2）利用=0，，∴BF⊥AB1，且AB1∩AE=A，说明BF⊥平面AB1E．
（3）设点P（2a，2a，z），0≤z≤2a，则=（2a，2a，z），若AP⊥BF，+2az=0，
求出z得到P（2a，2a，c），即点P在CC1中点处．
（1）证明：取AD中点G，连接FG、BG，
则FG⊥AE，
又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG=∠DAE，
∴AE⊥BG，又∵BG∩FG=G，
∴AE⊥平面BFG，
∴AE⊥BF．（8分）
（2）证明：连A1B，则AB1⊥A1B，
又AB1⊥A1F，∴AB1⊥平面A1BF，
∴AB1⊥BF，
又AE∩AB1=A，
∴BF⊥平面AB1E．（8分）
（3）存在，取CC1中点P，即为所求，
连接EP、C1D
∵EP∥C1D，C1D∥AB1，
∴EP∥AB1，∴AP⊂平面AB1E，
由（2）知BF⊥平面AB1E，∴AP⊥BF．（12分）
方法2：
（1）建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2a，则
A（0，0，0），B（2a，0，0），B1（2a，0，2a），E（a，2a，0），
F（0，a，2a），
∴，

∴，
∴，∴AE⊥BF．（4分）
（2）∵=-4a2+0+4a2=0，
∴，∴BF⊥AB1，且AB1∩AE=A，
∴BF⊥平面AB1E．（8分）
（3）设点P（2a，2a，z），0≤z≤2a，则，
若，
∴z=a，∴P（2a，2a，c），即点P在CC1中点处．（12分）