Question

设函数f（x）=|3x-1|+x+2，
（1）解不等式f（x）≤3，
（2）若不等式f（x）＞a的解集为R，求a的取值范围．

Answer

（1）因为不等式|f（x）|≤a 等价于：-a≤f（x）≤a，不必考虑a 的符号（a＜0时，解集是空集），据此进而分析不等式
|3x-1|≤1-x可得答案；
（2）化简f（x）的解析式，利用函数的单调性求出f（x）的最小值，要使不等式f（x）＞a的解集为R，只要f（x）的最小值大于a．
【解析】
（1）不等式即|3x-1|+x+2≤3，
∴|3x-1|≤1-x，
∴x-1≤3x-1≤1-x，
即．
（2）f（x）=，
当时，f（x）单调递增；时，f（x）单调递减，
∴．
要使不等式f（x）＞a的解集为{R}，只需f（x）min＞a即可，即．
∴综上，a的取值范围是（-∞，）．