Question

平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）写出圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使、、成等比数列，求的范围．

Answer

（1）根据已知直线必过定点，而要使面积最小则定点一定在圆上，此时易求出圆的方程；
（2）根据圆与x轴相交，求出AB两点坐标，根据P在圆内以及由使、、成等比数列分别求出一个关系式，两个关系式联立即可求出y2的取值范围，最终判断出的取值范围
【解析】
（1）∵直线方程为y=mx+（3-4m）
∴易得l过定点T（4，3）
由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上
∴圆O的方程为：x2+y2=25
（2）∵圆O与x轴相交于A、B两点
故A（-5，0） B（5，0）
设P（x，y）为圆内任意一点
故：x2+y2＜25            ①
，
由使、、成等比数列得：
=•
∴x2+y2=•
整理得：x2-y2=         ②
由①②得：
0≤y2≤
=（x2-25）+y2=2y2-
∴∈[-，0）．