Question

函数f（x）=x³+ax²-ax（a∈R）．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）F（x）=f（x）-f′（x）在区间[-3，-1]上是增函数，求a的取值范围．

Answer

（1）利用函数在极值点的导数等于0，求得 a值．
（2）利用F（x）=f（x）-f′（x）在区间[-3，-1]上是增函数，得到 x∈[-3，-1]时，F′（x）≥0，
分区间在对称轴的左侧和右侧两种情况进行讨论．
【解析】
（1）∵函数f（x）=x3+ax2-ax（a∈R），∴f′（x）=3x2+2ax-a，
由 f′（1）=0，得 a=-3．
（2）F（x）=f（x）-f′（x）=x3+ax2-ax-（3x2+2ax-a）=x3+（a-3）x2-3ax+a，
F′（x）=3x2+2（a-3）x-3a，
△=4（a-3）2-4×3×（-3a）=4（a2+3a+9）＞0恒成立，∴F′（x）＜0必有解．
易知函数F′（x）的图象为抛物线，对称轴为 x=1-，
∵F（x）=f（x）-f′（x）在区间[-3，-1]上是增函数，∴x∈[-3，-1]时，F′（x）≥0，
∴，或   ，∴，或  ，∴a≤，
故a 的取值范围为（-∞，）．