Question

已知数列{a_n}满足：．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，且，证明：．

Answer

（Ⅰ）2n+1an+1-2nan=n，令bn=2n+1an+1-2nan，得2nan=2a1+b1+b2+…+bn-1=，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由，可得，2n+1=（1+1）n+1=1+Cn+11+Cn+12+…+Cn+1n-1+Cn+1n+1，所以2n+1＞n2+2n+2，由此能证明．
（Ⅲ），欲证：．，即证，即ln（1+Tn）-Tn＜0．构造函数f（x）=ln（1+x）-x，借助导数能够证明．
【解析】
（Ⅰ）∵2n+1an+1-2nan=n
令bn=2n+1an+1-2nan，∴2nan=2a1+b1+b2+…+bn-1=，
∴，又a1=1成立∴（4分）
（Ⅱ）∵，∴
又当n≥2时，2n+1=（1+1）n+1=1+Cn+11+Cn+12+…+Cn+1n-1+Cn+1n+1
∴2n+1＞1+Cn+11+2Cn+12，∴2n+1＞n2+2n+2，而
∴，又a1=1
故（9分）
（Ⅲ）
欲证：．，即证，即ln（1+Tn）-Tn＜0．
构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），，
∴f（x）在[0，+∞）上为减函数，f（x）的最大值为f（0）=0，
∴当x＞0时，f（x）＜0，∴ln（1+Tn）-Tn＜0
故不等式．成立．（14分）