Question

如图所示，已知三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD点M、N、G、H分别是棱AB、AD、DC、CB的中点．
（1）求证M、N、G、H四点共面；
（2）已知DC=1，CB=，AD=，AB是球M的大圆直径，点C在球面上，求球M的体积V．

Answer

（1）根据两条平行线可以确定一个平面证明M、N、G、H四点共面，根据中位线证明直线平行．
（2）先证BC⊥平面ACD，在Rt△BCD中求出BD，在Rt△ABD用勾股定理求出球的半径，即可求球M的体积V
解（1）连接MH，NG，∵M、N、G、H分别是棱AB、AD、DC、CB的中点，
∴MH∥AC，NG∥AC，∴MH∥NG，根据两条平行线可以确定一个平面，∴∵M、N、G、H四点共面．
（2）设球半径为R，∵AB是球M大圆直径，点c在球面上，
∴MA=MB=MC=R，且∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
∵AD⊥平面BCD，∴AD⊥BC，∵AC∩AD=A，∴BC⊥平面ACD，
∴BC⊥CD，∴BD2=BC2+CD2=3，
∵AD=，∴AB2=3+6=9，
∴AB=3，∴球半径=，
∴球体积V=π．