Question

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x＜b），满足f（x）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x是它的一个均值点．如y=x⁴是[-1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．
（1）判断函数f（x）=-x²+4x在区间[0，9]上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；
（2）若函数f（x）=-x²+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，试确定实数m的取值范围．

Answer

（1）关于x的方程-x2+4x=在（0，9）内有实数根时，函数f（x）=-x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数，下面只需解方程-x2+4x=的根即可得出结论；
（2）函数f（x）=-x2+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有-x2+mx+1=在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．
【解析】
（1）由定义可知，关于x的方程-x2+4x=在（0，9）内有实数根时，
函数f（x）=-x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数．
解-x2+4x=⇒x2-4x-5=0，可得x=5，x=-1．
又-1∉（0，9），
∴x=5，
所以函数f（x）=-x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数，5是它的均值点．
（2）∵函数f（x）=-x2+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，
∴关于x的方程-x2+mx+1=在（-1，1）内有实数根．
由-x2+mx+1=⇒x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求实数m的取值范围是0＜m＜2．