Question

（理科）已知各项都为正数的数列{a_n}满足a₁=1，S_n=a_na_n+1（n∈N⁺），其中Sn是数列{a_n}的前n项的和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）已知p（≥2）是给定的某个正整数，数列{b_n}满足b_n=1，=
（k=1，2，3…，p-1），求b_k；
（3）化简b₁+b₂+b₃+…+b_p．

Answer

（1）由可得，两式相减，可求得an．
（2）由（1）已求得an=n，==，b1=1，可以求得b2，b3，…用归纳法可求得bk；
（3）可得b1+b2+…+bp的式子，然后利用组合数的性质可以解决问题．
【解析】
（1）∵，（n∈N*），
∴．
∴an=an（an+1-an-1），即an+1-an-1=2（n≥2）．
∴a2，a4，a6，…a2n是首项为a2，公差为2的等差数列；
 a1，a3，…a2n-1是首项为a1，公差为2的等差数列．
又，可得a2=2．
∴a2n=2n，a2n-1=2n-1（n∈N*）．
所以，所求数列的通项公式为：an=n．
（2）∵p是给定的正整数（p≥2），
=（k=1，2，3，…p-1），
∴数列{bk}是项数为p项的有穷数列．
b1=1，=（k=1，2，3，…p-1），
∴b2=（-1），b3=（-1）2，b4=（-1）3，…，
 归纳可得．
（3）由（2）可知，
 进一步可化为．
所以，b1+b2+b3+…+bp-1+bp
=
=
=
=．