Question

已知数列{a_n}的前n项和，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=lna_n，是否存在k（k≥2，k∈N^*），使得b_k、b_k+1、b_k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直接利用an=Sn-Sn-1 （n≥2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时通项是否成立）．
（2）先利用（1）的结论求出数列{bn}的通项，再求出bkbk+2的表达式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列．
【解析】
（1）当n≥2时，，（2分）
即（n≥2）．（4分）
所以数列是首项为的常数列．（5分）
所以，即an=n（n∈N*）．
所以数列{an}的通项公式为an=n（n∈N*）．（7分）
（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列，
则bkbk+2=bk+12．（8分）
因为bn=lnan=lnn（n≥2），
所以
．（13分）
这与bkbk+2=bk+12矛盾．
故不存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列．（14分）