Question

已知双曲线C：和圆O：x²+y²=b²（其中原点O为圆心），过双曲线C上一点P（x，y）引圆O的两条切线，切点分别为A、B．
（1）若双曲线C上存在点P，使得∠APB=90°，求双曲线离心率e的取值范围；
（2）求直线AB的方程；
（3）求三角形OAB面积的最大值．

Answer

（1）由a＞b＞0，知．由∠APB=90°及圆的性质，知四边形PAOB是正方形，所以．由此能求出双曲线离心率e的取值范围．
（2）方法1：因为PA2=OP2-OA2=x2+y2-b2，所以以点P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为（x-x）2+（y-y）2=x2+y2-b2．联立方程组，得直线AB的方程．
方法2：设A（x1，y1）B（x2，y2），已知点P（x，y），则kPA=，（其中x1≠x，x1≠0）．因为PA⊥OA，所以kPAkOA=-1，即．因为OA=OB，PA=PB，根据平面几何知识可知，AB⊥OP．因为，所以．由此能求出直线AB的方程．
方法3：设A（x1，y1），B（x2，y2），已知点P（x，y），则kPA=，．因为PA⊥OA，所以．由此能求出直线AB的方程．
（3）由直线AB的方程为xx+yy=b2，知点O到直线AB的距离为．由，知△OAB的面积．以下给出求三角形OAB的面积S的三种方法：
方法1：因为点P（x，y）在双曲线上，所以．设，所以．再由导数能够求出．
方法2：设，则．因为点P（x，y）在双曲线上，所以．令，再由导数能够求出．
方法3：设t=x2+y2，则．因为点P（x，y）在双曲线上，所以．令，所以g（u）在上单调递增，在上单调递减．由此能够求出．
【解析】
（1）因为a＞b＞0，所以，所以．（1分）
由∠APB=90°及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以．
因为，所以，所以．（3分）
故双曲线离心率e的取值范围为．（4分）
（2）方法1：因为PA2=OP2-OA2=x2+y2-b2，
所以以点P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为（x-x）2+（y-y）2=x2+y2-b2．（5分）
因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB，（6分）
所以联立方程组（7分）
消去x2，y2，即得直线AB的方程为xx+yy=b2．（8分）
方法2：设A（x1，y1）B（x2，y2），已知点P（x，y），
则kPA=，（其中x1≠x，x1≠0）．
因为PA⊥OA，所以kPAkOA=-1，即．（5分）
整理得xx1+yy1=x12+y12．
因为x12+y12=b2，所以xx1+yy1=b2．（6分）
因为OA=OB，PA=PB，根据平面几何知识可知，AB⊥OP．
因为，所以．（7分）
所以直线AB方程为．
即xx+yy=xx1+yy1．
所以直线AB的方程为xx+yy=b2．（8分）
方法3：设A（x1，y1），B（x2，y2），已知点P（x，y），
则kPA=，（其中x1≠x，x1≠0）．
因为PA⊥OA，所以kPAkOA=-1，即．
整理得xx1+yy1=x12+y12．
因为x12+y12=b2，所以xx1+yy1=b2．（6分）
这说明点A在直线xx+yy=b2上．（7分）
同理点B也在直线xx+yy=b2上．
所以xx+yy=b2就是直线AB的方程．（8分）
（3）由（2）知，直线AB的方程为xx+yy=b2，
所以点O到直线AB的距离为．
因为，
所以三角形OAB的面积．（10分）
以下给出求三角形OAB的面积S的三种方法：
方法1：因为点P（x，y）在双曲线上，
所以，即（x2≥a2）．
设，
所以．（11分）
因为，
所以当0＜t＜b时，S'＞0，当t＞b时，S'＜0．
所以在（0，b）上单调递增，在（b，+∞）上单调递减．（12分）
当，即时，，（13分）
当，即时，．
综上可知，当时，；当时，．（14分）
方法2：设，则．（11分）
因为点P（x，y）在双曲线上，即，即（x2≥a2）．
所以．
令，则．
所以当0＜t＜b时，g'（t）＜0，当t＞b时，g'（t）＞0．
所以在（0，b）上单调递减，在（b，+∞）上单调递增．（12分）
当，即时，，（13分）
当，即时，．
综上可知，当时，；当时，．（14分）
方法3：设t=x2+y2，则．（11分）
因为点P（x，y）在双曲线上，即，即（x2≥a2）．
所以．
令，
所以g（u）在上单调递增，在上单调递减．（12分）
因为t≥a，所以，
当，即时，，此时．
（13分）
当，即时，，此时．
综上可知，当时，；当时，．（14分）