Question

已知R是实数集，实数a、b都是常数，是f（x）的导函数，函数F（x）的定义域是
（I）假设h（-1）=0，且f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，求a、b的值；
（II）假设h（x）是偶函数，m+n＞0，m•n＜0，证明：F（m）+F（n）＞0．

Answer

（Ⅰ）先求出h（x），得到F（x）的解析式，（I）h（-1）=0，且f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，得出关于a、b的方程与不等式，求解即可；
（II）h（x）是偶函数可得出b=0，由函数的解析式可以得出，F（x）是一个奇函数，也是一个增函数，又m+n＞0，m•n＜0不妨令m＞0，n＜0，结合函数的性质进行进行证明即可
【解析】
由题意h（x）=ax2+bx+1，故
（I）h（-1）=0得a-b+1=0  ①
f（x）在（-∞，+∞）上是单调函数，a＞0，故h（x）=ax2+bx+1≥0在R上恒成立，即b2-4a≤0②
由①得b=a+1代入②得（a+1）2-4a=（a-1）2≤0，故a=1，∴b=2
（II）∵h（x）是偶函数，，∴b=0，∴是一个奇函数，
又a＞0，x＞0，F（x）＞1，x＜0，F（x）＜-1，故在定义域上也是一个增函数，
又m+n＞0，m•n＜0不妨令m＞0，n＜0，，则有m＞-n＞0，故有F（m）＞F（-n）=-F（n），
∴F（m）+F（n）＞0