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已知双曲线S的两个焦点F1、F2在x轴上,它的两条渐近线分别为l1、l2,y=x...

已知双曲线S的两个焦点F1、F2在x轴上,它的两条渐近线分别为l1、l2,y=manfen5.com 满分网x是其中的一条渐近线的方程,两条直线X=±manfen5.com 满分网是双曲线S的准线.
(I)设A、B分别为l1、l2上的动点,且2|manfen5.com 满分网|=5manfen5.com 满分网,求线段AB的中点M的轨迹方程:
(II)已知O是原点,经过点N(0,1)是否存在直线l,使l与双曲线S交于P,E且△POE是以PE为斜边的直角三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
先利用已知条件求出双曲线S的标准方程; (I)设出M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),根据中点坐标公式得x1+x2=2x,y1+y2=2y;再根据已知得y=x是l1,l2的方程,A,B,分别为l1,l2上的点.以及弦长公式和2||=5,即得答案: (II)先设出直线l的方程,把直线方程与双曲线方程联立,得到P,E坐标与直线斜率之间的等量关系;再结合△POE是以PE为斜边的直角三角形对应的结论=0.即可求出最终结论.(注意对直线方程分斜率存在和不存在两种情况来讨论) 【解析】 根据题意设双曲线S的方程为, 根据已知,得,解方程组,得, ∴双曲线S的方程为. (I)设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则, 即x1+x2=2x,y1+y2=2y, ∵, ∴, 即=10. 由已知得y=x是l1,l2的方程,A,B,分别为l1,l2上的点. 所以(y1+y2)2=(x1-x2)2.即(x2-x1)2=3(y2+y1)2. (y2-y1)2=. ∴==10. ∴3×(2y)2+(2x)2=100.即. 所以线段AB的中点M的轨迹方程为:. (II)∵经过点N(0,1),斜率不存在的直线是x=0,它与曲线S不相交, ∴经过点N(0,1)斜率不存在的直线不符合要求. 当经过点N(0,1)的直线斜率存在时,设方程为y=kx+1. 假设它满足要求,根据已知设P(x3,kx3+1),E(x4,kx4+1) ∵△POE是以PE为斜边的指直角三角形 ∴=0.即x3x4+(kx3+1)(kx4+1)=0. ∴(1+k2)x3x4+k(x3+x4)+1=0. 由得(1-3k2)x2-6kx-6=0. ∴x3+x4=,x3•x4=. ∴(1+k2)=1.化简得:3k2+5=0,此方程无实数根. 所以经过点N(0,1)斜率存在的直线l也不满足要求. 综上可得:满足要求的直线l不存在.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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