Question

某中学有5名报考艺术类的考生要参加专业測试，已知每位考生专业测试合格的概率等于．
（I ）假设该中学5名考生恰有r人专业測试合格的概率等于，求r的值；
（II）假设该中学5名考生专业測试合格的人数为ξ，求ξ的期望和方差．

Answer

（Ⅰ）由每位考生专业测试合格的概率求得：每位考生专业测试不合格的概率，再结合n次独立重复试验中恰好发生k次的概率即可求得该中学5名考生恰有r人专业測试合格的概率，列出方程即可求得r值；
（Ⅱ）根据题意，易得 ξ：ξ～B（5，），根据其概率分布列，由期望的计算公式，结合分布列计算可得ξ的期望和方差．
【解析】
（I）∵每位考生专业测试合格的概率等于．
∴每位考生专业测试不合格的概率等于1-=．
∴该中学5名考生恰有r人专业測试合格的概率
=c5Rpr（1-p）5-r=⇒r=3，4．
（II）∵该中学5名考生专业測试合格的人数为ξ：
ξ～B（5，）
∴ξ的期望=5×
方差=5×．