Question

已知双曲线S的两个焦点F₁、F₂在x轴上，它的两条渐近线分别为l₁、l₂，y=x是其中的一条渐近线的方程，两条直线X=±是双曲线S的准线．
（I）设A、B分别为l₁、l₂上的动点，且2||=5，求线段AB的中点M的轨迹方程：
（II）已知O是原点，经过点N（0，1）是否存在直线l，使l与双曲线S交于P，E且△POE是以PE为斜边的直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

先利用已知条件求出双曲线S的标准方程；
（I）设出M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），根据中点坐标公式得x1+x2=2x，y1+y2=2y；再根据已知得y=x是l1，l2的方程，A，B，分别为l1，l2上的点．以及弦长公式和2||=5，即得答案：
（II）先设出直线l的方程，把直线方程与双曲线方程联立，得到P，E坐标与直线斜率之间的等量关系；再结合△POE是以PE为斜边的直角三角形对应的结论=0．即可求出最终结论．（注意对直线方程分斜率存在和不存在两种情况来讨论）
【解析】
根据题意设双曲线S的方程为，
根据已知，得，解方程组，得，
∴双曲线S的方程为．
（I）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则，
即x1+x2=2x，y1+y2=2y，
∵，
∴，
即=10．
由已知得y=x是l1，l2的方程，A，B，分别为l1，l2上的点．
所以（y1+y2）2=（x1-x2）2．即（x2-x1）2=3（y2+y1）2．
（y2-y1）2=．
∴==10．
∴3×（2y）2+（2x）2=100．即．
所以线段AB的中点M的轨迹方程为：．
（II）∵经过点N（0，1），斜率不存在的直线是x=0，它与曲线S不相交，
∴经过点N（0，1）斜率不存在的直线不符合要求．
当经过点N（0，1）的直线斜率存在时，设方程为y=kx+1．
假设它满足要求，根据已知设P（x3，kx3+1），E（x4，kx4+1）
∵△POE是以PE为斜边的指直角三角形
∴=0．即x3x4+（kx3+1）（kx4+1）=0．
∴（1+k2）x3x4+k（x3+x4）+1=0．
由得（1-3k2）x2-6kx-6=0．
∴x3+x4=，x3•x4=．
∴（1+k2）=1．化简得：3k2+5=0，此方程无实数根．
所以经过点N（0，1）斜率存在的直线l也不满足要求．
综上可得：满足要求的直线l不存在．