Question

已知n是正整数，在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，在数列{b_n}中，b₁=a₁，
当n≥2时，=++…+．
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）求-的值：
（III）当n≥2时，证明：．

Answer

（I）将an+1=2an+1两端同加上1，整理，构造出等差或等比数列，进行解决．
（II）根据已知写出的表达式，再考虑作差．注意对n=1的讨论．
（III）将变形为，除首尾两项外，中间项根据（Ⅱ）的结果，进行代换，同时要注意放缩法在过程中适时、适当的适用．
【解析】
（I）∵an+1=2an+1，
    两边同加1得，an+1+1=2（an+1），
∴数列{an+1+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
∴an+1=2×2n-1=2n，
∴an=2n-1
 （II）∵，b1-a1=1
∴=-1
∴当n=1时，=-1
 当n≥2时，
∵=
∴===
∴=0
综上所述，当n=1时=-1
当n≥2时=0．
（III）由（II）知：b1=a1=1，，即b2=a2=3．
当n≥2时，=0，即
∴当n≥2时，
=
=
==2×
=2×（）
=2×（1+）
＞2（1+）
=2[1+]=3-．
∴当n≥2时，．