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已知及是实数集,e是自然对数的底数,函数f(x)=的定义域为{x|x>0,x∈R...

已知及是实数集,e是自然对数的底数,函数f(x)=manfen5.com 满分网的定义域为{x|x>0,x∈R}
(I)解关于x的不等式f(x2+1)>manfen5.com 满分网
(II)若常数k是正整数,当x>0时,f(x)>manfen5.com 满分网恒成立,求k的最大值.
(I)看出要解的不等式右边可以写成f(e-1),问题转化为抽象函数的不等式的问题,对函数求导判断函数的单调性,根据函数的单调性写出解题的不等式,得到解集. (II)利用特值看出要求的最大值是3,后面要证明当取3时,式子恒成立,利用导数求出函数的单调区间,看出函数在当x=e-1时,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e,得到结论. 【解析】 (I)∵f(e-1)= ∴不等式f(x2+1)可以化为f(x2+1)>f(e-1) ∴= ∴当x>0时,f′(x)<0, ∴函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数, ∵f(x2+1)>f(e-1), ∴x2+1<e-1, ∴, ∴不等式的解集是{x|} (II)∵当x>0时,f(x)>恒成立, 令x=1,得k<2(1+ln2) ∵k是整数, ∴k=3. 下面证明当k=3,x>0时,f(x)恒成立, 即当x>0时,(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立, 令g(x)=(x+1)ln(x+1)+1-2x 则g′(x)=ln(x+1)-1 当x>e-1时,g′(x)>0, 当0<x<e-1时,g′(x)<0 ∴当x=e-1时,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0 ∴当x>0时,(x+1)ln(x+1)+1-2x>0恒成立, ∴正整数k的最大值是3.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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