Question

（文）一个多面体的三视图（正前方垂直于平面AA₁B₁B）及直观图如图（一）所示，（如图二）M、N分别是A₁B、B₁C₁的中点．
（1）计算多面体的体积；
（2）求证MN∥平面AA₁C₁C；
（3）若O是AB的中点，求证AM⊥平面A₁OC．

Answer

（1）由已知中的三视图，我们易得到这是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，且底面直角边和棱柱高均为a，代入棱柱体积公式，即可得到答案．
（2）连AB1，AC1，由矩形的性质及三角形中位线定理，易得MN∥AC1，再由线面平行的判定定理，即可得到MN∥平面AA1C1C；
（3）若O是AB的中点，根据已知易得∠AA1B1=∠AOA1，即AB1⊥A1O，再结合直三棱柱侧面与底面垂直，我们结合CO⊥AB，及面面垂直的性质可得OC⊥平面AA1B1B，进而得到AB1⊥OC，再由线面垂直的判定定理可得AB1⊥平面A1OC，即AM⊥平面A1OC．
【解析】
（1）如图可知，在这个多面体的直观图中，
AA1⊥平面ABC，且AB⊥AC，AB=AC=CC1=a，
所以V==；
（2）连AB1，AC1，由矩形性质得：AB1与A1B交于点M，
在△AB1C1中，由中位线性质得MN∥AC1，
又因为MN⊄平面AA1C1C，
所以MN∥平面AA1C1C；
（3）在矩形AA1B1B中，tan∠AA1B1=，tan∠AOA1=，
所以∠AA1B1=∠AOA1，
所以AB1⊥A1O，
又因为平面ABC⊥平面AA1B1B，CO⊥AB，
所以OC⊥平面AA1B1B，
所以OC⊥AB1，即AB1⊥OC，又A1O∩OC=O，
所以AB1⊥平面A1OC，
即AM⊥平面A1OC．