Question

已知函数f（x）=x³-x²+cx+d有极值．
（Ⅰ）求c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d²+2d恒成立，求d的取值范围．

Answer

（I）由已知中函数解析式f（x）=x3-x2+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）=x3-x2+cx+d有极值，方程f′（x）=x2-x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，则f′（2）=0，求出满足条件的c值后，可以分析出函数f（x）=x3-x2+cx+d的单调性，进而分析出当x＜0时，函数的最大值，又由当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围．
解（Ⅰ）∵f（x）=x3-x2+cx+d，
∴f′（x）=x2-x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2-x+c=0有两个实数解，
从而△=1-4c＞0，
∴c＜．
（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=4-2+c=0，
∴c=-2．
∴f（x）=x3-x2-2x+d，
∵f′（x）=x2-x-2=（x-2）（x+1），
∴当x∈（-∞，-1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（-1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．
∴x＜0时，f（x）在x=-1处取得最大值，
∵x＜0时，f（x）＜恒成立，
∴＜，即（d+7）（d-1）＞0，
∴d＜-7或d＞1，
即d的取值范围是（-∞，-7）∪（1，+∞）．