Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a（a∈R）对于n=1，2，3…，有a_n+1=．
（Ⅰ）当0＜a_n＜4时，证明：0＜a_n+1＜4；
（Ⅱ）若0＜a＜1，求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅲ）证明在数列{a_n}中，存在一项a_n0满足a_n0≤3．

Answer

（I）当0＜an≤3时，an+1=-an+4，1≤-an+4＜4，故1≤an+1＜4；当3＜an＜4时，an+1=an-3，0＜an-3＜1．由此知0＜an＜4时，0＜an+1＜4．
（II）0＜a＜1，a2=-a+4，a3=a2-3=-a+1，a4=-a3+4=a+3，a5=a4-3=a．由此猜想对于任意正整数l有a4l-3=a，a4l-2=4-a，a4l-1=1-a，a4l=a+3（即{an}是周期为4的数列）．然后用数学归纳法证明．
（III）假设对所有的n，an＞3，则对所有的n，有an+1=an-3，所以an=a+（n-1）（-3）=（a+3）-3n，所以存在充分大的n，使得an≤3，这与假设矛盾．所以在数列{an}中，存在一项an，满足an≤3．
【解析】
（I）当0＜an≤3时，an+1=-an+4，1≤-an+4＜4，∴1≤an+1＜4；
当3＜an＜4时，an+1=an-3，0＜an-3＜1，∴0＜an+1＜1．因此0＜an＜4时，0＜an+1＜4．
（II）0＜a＜1，a2=-a+4，a3=a2-3=-a+1，a4=-a3+4=a+3，a5=a4-3=a．
∴猜想对于任意正整数l有a4l-3=a，a4l-2=4-a，a4l-1=1-a，a4l=a+3（即{an}是周
期为4的数列）．
下面用数学归纳法证明．
（i）l=1时，a4l-3=a成立；
（ii）假设当l=k∈N+时，a4k-3=a成立．
则当l=k+1时，∵0＜a＜1，∴a4k-2=-a4k-3+4=-a+4，
a4k-1=a4k-2-3=-a+4-3=-a+1，a4k=-a4k-1+4=a+3，
a4（k+1）-3=a4k-3=a，即当l=k+1时，a41-3=a也成立．
由（i）（ii）可知对任意l∈N+，a4l-3=a．
同理可证a4l-2=4-a，a4l-1=1-a，a4l=a+3．
（III）假设对所有的n，an＞3，则对所有的n，有an+1=an-3，所以数列{an}是首项
为a，公差为-3的等差数列，所以an=a+（n-1）（-3）=（a+3）-3n，所以存在充分大的
n，使得an≤3，这与假设矛盾，∴假设不成立，∴在数列{an}中，存在一项an，满足an≤3．