Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1（m∈N^*）成等差数列，试判断S_m，S_m+2，S_m+1是否成等差数列，并证明你的结论．

Answer

直接利用等差数关系，求出公比，然后判断当q=1时，Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列．当时，Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列．
证法1：证明（Sm+Sm+1）-2Sm+2=0即可．证法2：利用等比数列求出Sm+Sm+1与2Sm+2的值相等即可．
【解析】
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（a1≠0，q≠0），若am，am+2，am+1成等差数列，
则2am+2=am+am+1．
∴2a1qm+1=a1qm-1+a1qm．
∵a1≠0，q≠0，∴2q2-q-1=0．
解得q=1或．
当q=1时，∵Sm=ma1，Sm+1=（m+1）a1，Sm+2=（m+2）a1，
∴2Sm+2≠Sm+Sm+1．
∴当q=1时，Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列．
当时，Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列．下面给出两种证明方法．
证法1：∵（Sm+Sm+1）-2Sm+2=（Sm+Sm+am+1）-2（Sm+am+1+am+2）=-am+1-2am+2=-am+1-2am+1q==0，
∴2Sm+2=Sm+Sm+1．
∴当时，Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列．
证法2：∵，
又==，
∴2Sm+2=Sm+Sm+1．
∴当时，Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列．