Question

当x∈（1，2）时，不等式x²+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是    ．

Answer

①构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．②讨论 对称轴x=-＞或＜时f（x）的单调性，得f（1），f（2）为两部分的最大值若满足f（1），f（2）都小于等于0即能满足x∈（1，2）时f（x）＜0，由此则可求出m的取值范围
【解析】
法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立．
则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，
①当图象对称轴x=-≤时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．
②同理当-＞时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使 x∈（1，2）时f（x）＜0．
由f（1）≤0解得m≤-5．综合①②得m范围m≤-5
法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立
即解得即 m≤-5
故答案为 m≤-5