Question

已知圆C的圆心在抛物线x²=2py（p＞0）上运动，且圆C过A（0，p）点，若MN为圆C在x轴上截得的弦．
（1）求弦长MN；
（2）设AM=l₁，AN=l₂，求的取值范围．

Answer

（1）先设圆心坐标C（x，y），根据条件得到圆C的方程，再求出交点M和N的横坐标，再根据弦长公式MN=|x2-x1|求得MN．
（2）首先设∠MAN=θ，接着根据三角形MAN面积得l1与l2关系式①，再根据余弦定理求得l12+l22的表达式即l1与l2关系式②，
联立①②求得的表达式，根据θ的范围代入求解．
【解析】
（1）依题意设C（x，y），M、N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
        则圆C的方程为：（x-x）2+（y-y）2=x2+（y-p）2．
         令y=0，并由x2=2py，得x2-2xx+x2-p2=0，
         解得x1=x-p，x2=x+p，
         所以弦长MN为|x2-x1|=x+p-（x-p）=2p．

 （2）设∠MAN=θ，因为，
    所以，因为l12+l22-2l1 l2cosθ=4p2，
    所以l12+l22=．
     所以．
    因为0＜θ≤90，所以当且仅当θ=45°时，原式有最大值，当且仅当θ=90°时，原式有最小值为2，
    从而的取值范围为．