Question

已知等差数列{a_n}的首项为a，公差为b，等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1
的正整数，且a₁＜b₁，b₂＜a₃．
（1）求a的值；
（2）若对于任意的n∈N₊，总存在m∈N₊，使得a_m+3=b_n成立，求b的值；
（3）令C_n=a_n+1+b_n，问数列{C_n}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意知an=a+（n-1）b，bn=b•an-1．b≥3．a＜3．再由2≤a＜3，根据a∈N，可得a=2．
（2）由题意知b（2n-1-m+1）=5．再b≥3和数的整除性，可知b是5的约数．故2n-1-m+1=1，b=5．
（3）设数列{Cn}中，Cn，Cn+1，Cn+2成等比数列，由Cn=2+nb+b•2n-1，（Cn+1）2=Cn•Cn+2，得（2+nb+b+b•2n）2=（2+nb+b•2n-1）（2+nb+2b+b•2n+1）．由此可以推出当b≠4时，不存在连续三项成等比数列；当b=4时，数列{Cn}中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．
【解析】
（1）由已知，得an=a+（n-1）b，bn=b•an-1．由a1＜b1，b2＜a3，得a＜b，ab＜a+2b．
因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又b＞a，故b≥3．
再由ab＜a+2b，得（a-2）b＜a．
由b＞a，故（a-2）b＜b，即（a-3）b＜0．
由b≥3，故a-3＜0，解得a＜3．
于是2≤a＜3，根据a∈N，可得a=2．
（2）由a=2，对于任意的n∈N*，均存在m∈N+，使得b（m-1）+5=b•2n-1，则b（2n-1-m+1）=5．
又b≥3，由数的整除性，得b是5的约数．
故2n-1-m+1=1，b=5．
所以b=5时，存在正自然数m=2n-1满足题意．
（3）设数列{Cn}中，Cn，Cn+1，Cn+2成等比数列，由Cn=2+nb+b•2n-1，（Cn+1）2=Cn•Cn+2，得（2+nb+b+b•2n）2=（2+nb+b•2n-1）（2+nb+2b+b•2n+1）．
化简，得b=2n+（n-2）•b•2n-1．（※）
当n=1时，b=1时，等式（※）成立，而b≥3，不成立．
当n=2时，b=4时，等式（※）成立．
当n≥3时，b=2n+（n-2）•b•2n-1＞（n-2）•b•2n-1≥4b，这与b≥3矛盾．
这时等式（※）不成立．
综上所述，当b≠4时，不存在连续三项成等比数列；当b=4时，数列{Cn}中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．