Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列是公比为2的等比数列．
（1）证明：数列{a_n}成等比数列的充要条件是a₁=3；
（2）设b_n=5ⁿ-（-1）ⁿa_n（n∈N^*）．若b_n＜b_n+1对n∈N^*恒成立，求a₁的取值范围．

Answer

（1）由题设知Sn+1=（a1+1）•4n-1．．先证明充分性：当a1=3时，，所以对n∈N*，都有，即数列{an}是等比数列．再证明必要性：因为{an}是等比数列，所以，即，解得a1=3．
（2）当n=1时，b1=5+a1；当n≥2时，bn=5n-（-1）n×3（a1+1）×4n-2（a1＞-1）．当n为偶数时，15（a1+1）×4n-2＞-4×5n恒成立．故a1∈（-1，+∞）．当n为奇数时，b1＜b2且bn＜bn+1（n≥3）恒成立．5+a1＜25-3（a1+1），得．由此入手能够得到a1的取值范围．
【解析】
（1）因为数列是公比为2的等比数列，
所以，
即Sn+1=（a1+1）•4n-1．
因为所以
显然，当n≥2时，．
①充分性：当a1=3时，，所以对n∈N*，都有，即数列{an}是等比数列．
②必要性：因为{an}是等比数列，所以，即，解得a1=3．
（2）当n=1时，b1=5+a1；当n≥2时，bn=5n-（-1）n×3（a1+1）×4n-2（a1＞-1）．
①当n为偶数时，5n-3（a1+1）×4n-2＜5n+1+3（a1+1）×4n-1恒成立．
即15（a1+1）×4n-2＞-4×5n恒成立．故a1∈（-1，+∞）．
②当n为奇数时，b1＜b2且bn＜bn+1（n≥3）恒成立．
由b1＜b2知，5+a1＜25-3（a1+1），得．
由bn＜bn+1对n≥3的奇数恒成立，知5n+3（a1+1）×4n-2＜5n+1-3（a1+1）×4n-1恒成立，
即15（a1+1）×4n-2＜4×5n恒成立，所以恒成立．
因为当对n≥3的奇数时，的最小值为，所以．
又因为，故．
综上所述，bn＜bn+1对n∈N*恒成立时，．