Question

设数列S₁，S₂，…是一个严格递增的正整数数列．
（1）若是该数列的其中两项，求证：；
（2）若该数列的两个子数列和都是等差数列，求证：这两个子数列的公差相等；
（3）若（2）中的公差为1，求证：，并证明数列{S_n}也是等差数列．

Answer

（1）由题设条件知：．
（2）设两子数列的首项分别为a，b，公差分别为d1，d2．由题设知a-b＜（k-1）（d2-d1）≤a-b+d1，由此可知d1=d2
（3）由题设知．数列{Sn}是严格递增的正整数数列，所以，由此能够导出Sk+1=Sk+1，故数列{Sn}是公差为1的等差数列．
【解析】
（1）证明：由条件知：．
（2）设两子数列的首项分别为a，b，公差分别为d1，d2．
∵
∴a+（k-1）d1＜b+（k-1）d2≤a+kd1
即a-b＜（k-1）（d2-d1）≤a-b+d1
上式左，右端皆为常数，中间的k∈N，故必须d2-d1=0，
∴d1=d2
（3）∵公差为1，∴．
又数列{Sn}是严格递增的正整数数列，
∴
∴
又由（1）知∴．
故Sk+1=Sk+1（k∈N），即数列{Sn}是公差为1的等差数列．