Question

设函数．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；
（3）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，．

Answer

（1）利用导数求函数的单调区间，关键点有二，一是求对导函数，这不难，二是解答不等式f'（x）＞0，得到x的范围，再兼顾函数的定义域，列出当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况表，将能很轻松的解答问题．
（2）在（1）的结论基础上求函数在闭区间上的最值将会有一种水到渠成的感觉，这一步一般稍有基础的学生就能很顺利解答．
（3）本问根据要证明的不等式．构造出函数，在利用数学归纳法证明出当n∈N*时有＞0，这还要借助于导数来解答．
【解析】
（1）f'（x）=2xex-1+x2ex-1-x2-2x=x（x+2）（ex-1-1），
令f'（x）=0，可得x1=-2，x2=0，x3=1．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，-2） -2 （-2，0） （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - + - +
f（x） ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑

∴函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）．
（2）当x∈[-1，2]时，，
极小值=极大值=f（0）=0．
所以f（x）在[-1，2]上的最小值为．
（3）设，当n=1时，只需证明g1（x）=ex-1-x＞0，当x∈（1，+∞）时，g1′（x）=ex-1-1＞0，
所以g1（x）=ex-1-x在（1，+∞）上是增函数，∴g1（x）＞g1（1）=e-1=0，即ex-1＞x；
当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即，
当n=k+1时，
因为，
所以gk+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．
所以，
即当n=k+1时，不等式成立．
由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，∀n∈N*，．