Question

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．
（Ⅰ）求该学生考上大学的概率．
（Ⅱ）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer

（Ⅰ）该学生考上大学的概率等于1减去该学生考不上大学的概率．考不上大学包括：①前4次测试只通过了一次，且第五次没有通过，②前4次都没有通过测试．
（Ⅱ）该生参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5，求出ξ取每个值的概率，即得ξ的分布列，由分布列求变量数学期望
Eξ 的值．
【解析】
（Ⅰ）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，则．
∴．（6分）
（Ⅱ）该生参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5．
，，
． ．
由于规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试，
当ξ=5时的情况，说明前4次只通过了1次，但不必考虑第5次是否通过．
∴=．
故ξ的分布列为：
ξ 2 3 4 5
Eξ  

==． （12分）