Question

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．令．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若∃x＞0使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（3）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer

（1）设g（x）=ax2+bx+c，根据g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1直接可得答案．
（2）表示出函数f（x）的解析式，对m进行大于0、小于、和等于0进行分析可得答案．
（3）先根据H（x）的导数小于等于0判断出H（x）单调递减的，只要证明|H（m）-H（1）|＜1即可．
【解析】
（1）设g（x）=ax2+bx+c，于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）2+2c=（x-1）2-2，所以
又g（1）=-1，则．所以．

（2）．
当m＞0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；
当m=0时，对∀x＞0，f（x）＞0恒成立；
当m＜0时，由，
列表：
．．
所以若∀x＞0，f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（-e，0]．
故∃x＞0使f（x）≤0成立，实数m的取值范围（-∞，-e]∪（0，+∞）．

（3）因为对∀x∈[1，m]，，所以H（x）在[1，m]内单调递减．
于是．．
记，
则，
所以函数在（1，e]是单调增函数，
所以，故命题成立．