Question

如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线G：x=a²上的射影依次为点D，K，E，
（1）已知抛物线的焦点为椭圆C的上顶点．
①求椭圆C的方程；
②若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求λ₁+λ₂的值；
（2）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标并给予证明；否则说明理由．

Answer

（1）由题设条件知c=1，a2=b2+c2=4，椭圆C的方程为，再由l与y轴交于M，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，知（3m2+4）y2+6my-9=0，△=144（m2+1）＞0，然后由根与系数的关系能求出λ1+λ2的值；
（2）由F（1，0），k=（a2，0），先探索m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且，再猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点．然后结合题设条猜想进行证明．
【解析】
（1）易知，∴b2=3，又F（1，0），∴c=1，a2=b2+c2=4
∴椭圆C的方程为（3分）
∵l与y轴交于M
设A（x1，y1），B（x2，y2），由
∴（3m2+4）y2+6my-9=0，△=144（m2+1）＞0∴（5分）
又由，∴
∴同理
∴（8分）

（3）∵F（1，0），k=（a2，0），
先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点（9分）
证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），E（a2，y2），D（a2，y1）
当m变化时首先AE过定点N
∵，即（a2+b2m2）y2+2mb2y+b2（1-a2）=0
又△=4a2b2（a2+m2b2-1）＞0（a＞1）
又KAN=，
而KAN-KEN=
=
∴KAN=KEN，∴A、N、E三点共线，
同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点（13分）