Question

设二次函数，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a₁∈（a，b）时，数列{a_n}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N^*，都有-1+（-1）^n-12λ+nlog₃2恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．

Answer

（1）欲使对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立及使（k-4）x2+（k-6）x-2≤0恒成立，建立不等关系可求出k的值，从而求出函数的值域；
（2）若数列{an}在某个区间上是递增数列，则an+1-an＞0，则an+1-an=f（an）-an＞0，又当时，所以对一切n∈N*，均有，且an+1-an＞0；所以数列an在区间上是递增数列；
（3）令，可证得数列{lgbn+lg2}是为首项，公比为2的等比数列，即2n+nlog32-12n+（log32）n-1＞（-1）n-12λ+nlog32-1nlog32-1，所以，2n-1＞（-1）n-1λ恒成立，当n为奇数时，即λ＜2n-1恒成立，当且仅当n=1时，2n-1有最小值为1．则λ＜1，当n为偶数时，即λ＞-2n-1恒成立，当且仅当n=2时，有最大值为-2，则λ＞-2，从而对任意n∈N*，有-2＜λ＜1．又λ非零整数求出λ的值．
【解析】
（1）由f（x）≤6x+2恒成立，即（k-4）x2+（k-6）x-2≤0恒成立，从而得：，
化简得，从而得k=2，所以f（x）=-2x2+2x，其值域为．
（2）当时，数列an在这个区间上是递增数列，证明如下：
若数列{an}在某个区间上是递增数列，则an+1-an＞0；
即an+1-an=f（an）-an=-2an2+2an-an=-2an2+an＞0；
时，，
所以对一切n∈N*，均有，且an+1-an＞0；所以数列an在区间上是递增数列．
（3）由（2）知，，从而；
当n≥1时，，即；
令，则有bn+1=2bn2，且；从而有lgbn+1=2lgbn+lg2，即lgbn+1+lg2=2（lgbn+lg2）；
所以数列{lgbn+lg2}是为首项，公比为2的等比数列；
从而得，即，所以，
所以，所以，
所以，=．
即2n+nlog32-12n+（log32）n-1＞（-1）n-12λ+nlog32-1nlog32-1，所以，2n-1＞（-1）n-1λ恒成立
当n为奇数时，即λ＜2n-1恒成立，当且仅当n=1时，2n-1有最小值为1．∴λ＜1
当n为偶数时，即λ＞-2n-1恒成立，当且仅当n=2时，有最大值为-2．∴λ＞-2
所以，对任意n∈N*，有-2＜λ＜1．又λ非零整数，∴λ=-1．