Question

设二次函数f（x）=（k-4）x²+kx（k∈R），对任意实数x，f（x）≤6x+2恒成立；数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a₁∈（a，b）时，数列{a_n}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，求：．

Answer

（1）只需二次项的系数为0，△≤0即可求出k的值，从而确定f（x），进而确定值域．
（2）当成立，可以证明an+1-an＞0，本题答案不唯一．
（3）由（2）得出，，设，得，，进而求出的值．
【解析】
（1）由f（x）≤6x+2恒成立等价于（k-4）x2+（k-6）x-2≤0恒成立，（1分）
从而得：，化简得，从而得k=2，所以f（x）=-2x2+2x，（3分）
其值域为．（4分）
（2）【解析】
当时，数列an在这个区间上是递增数列，证明如下：
设，则，所以对一切n∈N*，均有；（7分），
从而得an+1-an＞0，即an+1＞an，所以数列an在区间上是递增数列．（10分）
注：本题的区间也可以是、、等无穷多个．
另【解析】
若数列an在某个区间上是递增数列，则an+1-an＞0
即an+1-an=f（an）-an=-2an2+2an-an=-2an2+an＞0（7分）
又当时，，所以对一切n∈N*，均有且an+1-an＞0，所以数列an在区间上是递增数列．（10分）
（3）（文科）由（2）知，从而；，即；（12分）
令，则有bn+1=2bn2且；
从而有lgbn+1=2lgbn+lg2，可得lgbn+1+lg2=2（lgbn+lg2），
所以数列lgbn+lg2是以为首项，公比为2的等比数列，（14分）
从而得，即，所以，
所以，所以，（16分）
所以，=．（18分）