Question

如果以抛物线y²=4x过焦点的弦为直径的圆截y轴所得的弦长为4，那么该圆的方程是    ．

Answer

设直线与抛物线的交点坐标（x1，y1），（x2，y2），由抛物线定义可得半径r与圆心（x，y）的关系，再由圆截y轴弦长和勾股定理得r与与圆心（x，y）的关系，从而解得r和x．再设过焦点的直线方程为x=ay+1，联立抛物线方程，分别消去x，y得到x、y和a的关系，从而求出结果．
【解析】
设过焦点的直线与抛物线交点A、B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），圆心C即AB的中点（x，y），
由抛物线定义得，|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=2x+2，∴r=x+1，
∵圆截y轴所得的弦长为4
∴由勾股定理得，r2=4+x2，即解得，
∴，
设过焦点的直线方程为x=ay+1，则，
消去x得y2-4ay-4=0，∴y1+y2=4a，即y=2a
消去y得x2-（2+4a2）x+1=0，∴x1+x2=2+4a2，即，解得a=±，
∴y=2a=±1，所以该圆的方程是（x-）2+（y±1）2=，
故答案是（x-）2+（y±1）2=．