(I)通过已知得到关于数列的项的两个等式,处理方程组得到,利用等差数列的定义得证
(II)利用等差数列的通项公式求出,求出bn,an.
(III)先通过裂项求和的方法求出Sn,代入化简得到关于n的二次不等式恒成立,构造新函数,通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值,令最大值小于0,求出a的范围.
【解析】
(I)由已知,得2bn=an+an+1①,an+12=bn•bn+1②.由②得③.
将③代入①得,对任意n≥2,n∈N*,有.
即.
∴是等差数列.(4分)
(Ⅱ)设数列的公差为d,
由a1=10,a2=15.经计算,得.
∴.
∴.
∴,.(9分)
(Ⅲ)由(1)得.∴.
不等式化为.
即(a-1)n2+(3a-6)n-8<0.
设f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8,则f(n)<0对任意正整数n恒成立.
当a-1>0,即a>1时,不满足条件;
当a-1=0,即a=1时,满足条件;
当a-1<0,即a<1时,f(n)的对称轴为,f(n)关于n递减,
因此,只需f(1)=4a-15<0.解得,∴a<1.
综上,a≤1.(14分)