Question

如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A₁和CD D′C₁都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D′′与D′重合于点D₁．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧（图2）．
（Ⅰ） 设二面角E-AC-D₁的大小为θ，若≤θ≤，求线段BE长的取值范围；
（Ⅱ）在线段D₁E上存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，求与BE之间满足的关系式，并证明：当0＜BE＜a时，恒有＜1．

Answer

（I）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系BE=t，分别求出平面D1AC的法向量与平面EAC的法向量，代入向量夹角公式，并根据≤θ≤，构造关于t的不等式，即可求出线段BE长的取值范围；
（Ⅱ）设，分别求出平面PA1C1和平面EAC的法向量，并根据平面PA1C1∥平面EAC得到λ，a，t的关系式，结合0＜BE＜a，即可得到结论．
【解析】
设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系如图．
设BE=t（t＞0）．
（Ⅰ）．，
设平面D1AC的法向量为，则
∴．（3分）
，
设平面EAC的法向量为，
则∴．（4分）
设二面角E-AC-D1的大小为θ，则，（6分）
∵cosθ∈，∴，
解得≤t≤．所以BE的取值范围是[，]．（8分）
（Ⅱ）设，则．∵，∴．
由平面PA1C1∥平面EAC，得A1P∥平面EAC，∴．∴，化简得：（t≠a），即所求关系式：=（BE≠a）．
∴当0＜t＜a时，＜1．即：当0＜BE＜a时，恒有＜1．（14分）