Question

已知向量，sinB），，cosA），且A，B，C分别为的三边a，b，c的角．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．

Answer

（Ⅰ）根据平面向量的数量积的运算法则及两角和的正弦函数公式化简，得到sin2C等于sinC，化简后即可求出cosC的值，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差数列，根据等差数列的性质得到2sinC等于sinA+sinB，根据正弦定理得到2c=a+b，再根据向量的减法法则化简已知的，利用平面向量的数量积的运算法则得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度数，a+b=2c及ab的值代入即可列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．
【解析】
（Ⅰ）
对于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC
∴
又∵，
∴sin2C=2sinCcosC=sinC，即cosC=，又C∈（0，π）
∴；
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB
由正弦定理得2c=a+b，
∵，
∴，
得abcosC=18，即ab=36，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，
∴c2=4c2-3×36，即c2=36，
∴c=6．