Question

已知数列{a_n} 的前n项和为S_n，且S_n+a_n=．
（1）证明：数列{a_n-n}为等比数列；
（2）设b_n=S_n+，T_n=，求证：T_n＜2．

Answer

（1）由题意知当n=1时，2⇒a1=，a1-1=，n≥2时an=Sn-Sn-1，得2an-an-1=n+1，即可证明结论；
（2）先由（1）求得数列{bn}的通项公式并整理成bn=，从而，然后利用列项求和求出Tn=2（1-），求出数列{bn}的前n项和 Tn＜2．
证明：（1）当n=1时，
2⇒a1=，a1-1=
当n≥2时，Sn+an=    ①
Sn-1+an-1=   ②
①-②得2an-an-1=n+1
∴2an=an-1+（n+1）
即2an-2n=an-1-（n-1），2（an-n）=an-1-（n-1），
即
∴数列数列{an-n}是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）得an-n=
∴an=n+
∴Sn=-n-=-
∴bn=Sn+=
∴=
∴Tn=2（1-）

=2（1-）＜2．