Question

设A、B是椭圆3x²+y²=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．
（1）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程；
（2）求以线段CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆的方程．

Answer

（1）可设直线AB的方程为 y=k（x-1）+3，代入 椭圆3x2+y2=λ，可得 x1+x2=，再由线段的中点公式求出 k=1，于是求得直线AB的方程．
 （2）用点斜式求得直线CD的方程为  x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4-λ=0  ③，利用根与系数的关系和中点公式求得 M（-，  ），再求得M（-，  ）到直线AB的距离 d，即可得到圆的标准方程．
【解析】
（1）依题意，显然直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为 y=k（x-1）+3，
代入 椭圆3x2+y2=λ，整理得 （k2+3 ） x2-2k（k-3）x+（k-3）2-λ=0     ①
设 A （ x1，y1 ），B （x2，y2 ），则 x1，x2  是方程①的两个不同的根，
∴△=4k2 （k-3）2-4 （k2+3 ）[（k-3）2-λ]＞0  ②，且 x1+x2=．
由N（1，3）是线段AB的中点，得 =1，∴k（k-3）=k2+3，∴k=-1．
代和②得 λ＞12，即 λ 的取值范围是（12，+∞），于是直线AB的方程为 y-3=-（x-1），
即 x+y-4=0．
（2）∵CD垂直平分线段AB，∴直线CD的方程为 y-3=x-1，即 x-y+2=0，
代入椭圆方程，整理得 4x2+4x+4-λ=0     ③．
设 C（x3，y3 ），D  （x4，y4 ），CD的中点为 M（x，y ），则 x3，x4 是方程③的两根，
∴x3+x4=-1，∴x==-，y=x+1=，即 M（-，  ）．
又 M（-，  ）到直线AB的距离 d==，
故所求圆的方程为 ．