Question

给出下列五个命题：
①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，则；
②函数在区间上是单调递增；
③已知a，b∈R，则“a＞b＞0”是“”的充分不必要条件；
④若xlog₃4=1，则；
⑤在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC必为锐角三角形．
其中正确命题的序号是    （写出所有正确命题的序号）．

Answer

①由偶函数的性质可得对称轴为y轴且该点取得函数的最值，则f（0）=±1，代入可求φ
②利用辅助角公式化简可得，函数=cos（2x+）利用余弦函数的单调性判断
③结合指数函数的单调性及定义域判断
④由xlog34=1⇒x=log43，代入求解即可
⑤由三角形的内角和定理可知，三角形的内角最多有一个钝角，故可设A，B为锐角，tanA＞0，tanB＞0
利用内角和公式可把tanA+tanB+tanC＞0⇒tanA+tanB-tan（A+B）＞0，利用两角和的正切公式展开整理可得tanAtanB＞1，则可得tanA＞cotB=tan（，则有A，所以有A+B，从而可得C
【解析】
①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，则由偶函数的性质可得对称轴为y轴且该点取得函数的最值，则f（0）=±1，代入可得，φ=故①错误
②函数=cos2x=，在区间上是单调递减，故②错误
③a＞b＞0⇒，但由只可得a＞b，即a＞b＞0是的充分不必要条件，故③正确
④由xlog34=1⇒x=log43，则，故④正确
⑤由三角形的内角和定理可知，三角形的内角最多有一个钝角，故可设A，B为锐角，tanA＞0，tanB＞0
利用内角和公式可把tanA+tanB+tanC＞0⇒tanA+tanB-tan（A+B）＞0，利用两角和的正切公式展开整理可得tanAtanB＞1，则可得tanA＞cotB=tan（，则有A，所以有A+B，从而可得C故⑤正确
故答案为：③④⑤