Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若•=•=1．
（Ⅰ）求证：A=B；
（Ⅱ）求边长c的值；
（Ⅲ）若|+|=，求△ABC的面积．

Answer

（1）由，，故可将•=•=1转化为一个三角方程，解方程即可证明：A=B
（2）由（1）的结论，再结合余弦定理，可构造一个关于c的方程，解方程易求c值．
（3）若|+|=平方后，结合余弦定理，可以判断三角形的形状，再结合（2）的结论，即可求△ABC的面积．
【解析】
（Ⅰ）∵•=•．
∴bccosA=accosB，即bcosA=acosB
由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB
∴sin（A-B）=0
∵-π＜A-B＜π
∴A-B=0，∴A=B
（Ⅱ）∵•=1，∴bccosA=1
由余弦定理得bc•=1，即b2+c2-a2=2
∵由（Ⅰ）得a=b，∴c2=2，∴c=
（Ⅲ）∵|+|=，∴||2+||2+2|•|=6
即c2+b2+2=6
∴c2+b2=4
∵c2=2
∴b2=2，b=
∴△ABC为正三角形
∴S△ABC=×（）2=