Question

已知函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴的交点的横坐标为a_k+1（k∈N^*），a₁=1；数列{b_n}满足：b₁=2，且对任意p，q∈N^*，都有b_p+b_q=b_p+q．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由已知条件得到切线方程，再求出ak+1与ak的关系，并判断其数列{an}是等比数列，即得到数列{an}的通项公式．令p=1，q=n则b1+bn=bn+1，求得数列{bn}的通项公式．
（II）由（1）知an•bn，再用错位相减法来求前n项和Tn．
【解析】
（I）∵y'=2x，∴y-ak2=2ak（x-ak）
，∴数列{an}是以首项为1，公比为的等比数列，
∴（3分）
令p=1，q=n则b1+bn=bn+1⇒bn+1-bn=2，即bn=2+2（n-1）=2n（6分）
（II）
①
②
①-②得=
∴（12分）